국소 볼록 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 볼록 집합을 통한 정의
- 2.2. 반노름을 통한 정의
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 국소 볼록 공간의 예
- 4.2. 국소 볼록 공간이 아닌 위상 벡터 공간의 예
5. 연속 사상
- 5.1. 선형 범함수
- 5.2. 다중선형 사상
6. 역사
참조

1. 개요

국소 볼록 공간은 특별한 종류의 위상 벡터 공간으로, 볼록 집합 또는 세미노름을 사용하여 정의할 수 있으며 두 정의는 동치이다. 국소 볼록 공간은 다양한 위상적 성질을 가지며, 하우스도르프 공간, 분리 공리, 연속성과 유계성, 한-바나흐 확장 성질 등을 만족한다. 노름 공간, 바나흐 공간, 힐베르트 공간, 프레셰 공간 등이 국소 볼록 공간의 예시이며, 연속 선형 사상과 다중 선형 사상에 대한 정의가 존재한다. 존 폰 노이만이 1934년에 처음으로 국소 볼록 공간의 개념을 도입했다.

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국소 볼록 공간
개요
정의	위상 공간에서, 국소 볼록 위상 벡터 공간은 0의 근방계가 볼록 집합으로 이루어진 위상 벡터 공간이다.
영어 명칭	locally convex topological vector space
성질
분리 공리	국소 볼록 공간은 완비성을 부여할 수 있다면 Tychonoff 공간이다. 국소 볼록 공간은 항상 콜모고로프 공간이다.
쌍대 공간	국소 볼록 공간의 연속 쌍대 공간은 풍부한 구조를 갖는다.
핵 공간	국소 볼록 공간의 텐서곱을 정의하면, 핵 공간을 정의할 수 있다.

2. 정의

$K \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ 라고 하자. $K$ -'''국소 볼록 공간'''은 특별한 종류의 $K$ -위상 벡터 공간이며, 볼록 집합을 이용하거나 반노름을 이용하여 정의할 수 있다. 두 정의는 서로 동치이다. 국소 볼록 공간을 정의하는 데이터는 벡터 공간 구조 및 위상 공간 구조만을 포함하고, 반노름은 포함하지 않는다. 일반적으로, 같은 국소 볼록 위상이 서로 다른 반노름 집합으로 유도될 수 있다.

2. 1. 볼록 집합을 통한 정의

국소 볼록 공간은 균형 잡힌 볼록 집합으로 구성된 원점에서의 근방 기저 (즉, 국소 기저)를 가지는 위상 벡터 공간이다.

X

의 부분 집합

C

는 다음 조건을 만족하면 여러 명칭으로 불린다.

용어	조건
볼록	모든 $x, y \in C,$ 및 $0 \leq t \leq 1,$ 에 대해 $tx + (1-t)y \in C$ 이다. 즉, $C$ 는 $C$ 내의 점들 사이의 모든 선분을 포함한다.
원형	x \in C 및 스칼라 $s$ 에 대해, $>s\| = 1$ 이면 $s x \in C$ 이다. $\mathbb{K} = \R$ 인 경우, 이는 $C$ 가 원점에 대한 반사와 같다는 것을 의미한다. $\mathbb{K} = \Complex$ 인 경우, 모든 $x \in C$ 에 대해, $C$ 는 $x$ 를 통과하고 $x$ 에 의해 생성된 1차원 복소 부분 공간에서 원점을 중심으로 하는 원을 포함한다.
균형	x \in C 및 스칼라 $s$ 에 대해, $>s\| \leq 1$ 이면 $s x \in C$ 이다. $\mathbb{K} = \R$ 인 경우, 이는 $x \in C$ 이면 $C$ 가 $x$ 와 $-x$ 사이의 선분을 포함한다는 것을 의미한다. $\mathbb{K} = \Complex$ 인 경우, 모든 $x \in C$ 에 대해, $C$ 는 $x$ 가 경계에 있고 $x$ 에 의해 생성된 1차원 복소 부분 공간에서 원점을 중심으로 하는 원반을 포함한다.
원뿔	(기저 체가 순서화된 경우) 모든 $x \in C$ 및 $t \geq 0 ,$ 에 대해 $t x \in C$ 이다.
흡수	x \in X에 대해, $>t\| > r$ 을 만족하는 모든 $t \in \mathbb{K}$ 에 대해 $x \in t C$ 를 만족하는 $r > 0$ 가 존재한다. 공간의 모든 점을 흡수하기 위해 집합 $C$ 는 "큰" 값으로 스케일링될 수 있다.
절대 볼록	균형적이면서 볼록할 때를 말한다.

모든 국소 볼록 TVS는 절대 볼록 집합(즉, 원반)으로 구성된 원점의 근방 기저^[1]를 가진다. 모든 TVS는 균형 집합으로 구성된 원점에서의 근방 기저를 가지지만, 국소 볼록 TVS만이 균형적이고 볼록한 집합으로 구성된 원점에서의 근방 기저를 갖는다.

위상 벡터 공간의 정의에 의해, 평행이동은 연속적이므로 모든 평행이동은 위상 동형이며, 따라서 원점 근방에 대한 모든 기저는 주어진 벡터의 근방에 대한 기저로 변환될 수 있다.

2. 2. 반노름을 통한 정의

국소 볼록 공간^한국어은 반노름의 족에 따른 벡터 공간으로 정의된다. 이 공간은 반노름에 의해 유도된 초기 위상을 갖는다.

X

가

\mathbb{K}

위의 벡터 공간이고,

\mathbb{K}

는 복소수의 부분체(일반적으로

\Complex

또는

\R

)라고 가정하자.

'''세미노름'''

p : X \to \R

는 다음 조건을 만족하는 함수이다.

1.

p

는 음이 아닌 값을 가진다. 즉,

p(x) \geq 0

이다.

2.

p

는 양의 동차성을 가진다. 즉, 모든 스칼라

s

에 대해

p(s x) = |s| p(x)

이다. 특히

p(0) = 0

이다.

3.

p

는 부분 가법성을 가진다. 즉, 삼각 부등식

p(x + y) \leq p(x) + p(y)

를 만족한다.

만약

p

가

p(x) = 0

이면

x = 0

을 만족하는 양의 정부호성을 만족하면

p

는 '''노름'''이다.

'''국소 볼록 공간'''은

X

와

X

상의 세미노름의 족

\mathcal{P}

로 정의된 벡터 공간이다.

X

가

\mathbb{K}

상의 벡터 공간이라고 가정하자. 여기서

\mathbb{K}

는 실수 또는 복소수이다. 벡터 공간

X

에 대한 세미노름의 집합

\mathcal{P}

는 세미노름에 의해 유도된 초기 위상이라고 불리는

X

에 대한 정규적인 벡터 공간 위상을 유도하여 이를 위상 벡터 공간(TVS)으로 만든다. 정의에 따르면, 이는

\mathcal{P}

의 모든 함수가 연속이 되도록 하는

X

에 대한 가장 거친 위상이다.

두 정의의 동등성은 민코프스키 범함수를 통해 증명된다.

반노름의 핵심 특징은, 반노름의

\varepsilon

-구의 볼록성을 보장하는 삼각 부등식이다.

만약

x \in C

일 때

0 \leq t \leq 1

인 모든 경우에

t x \in C

를 만족하는 흡수 집합

C

에 대해,

C

의 민코프스키 범함수를 다음과 같이 정의한다.

:

\mu_C(x) = \inf \{r > 0: x \in r C\}.

이 정의로부터

C

가 평형이고 볼록하면

\mu_C

는 반노름이 된다는 것을 알 수 있다. 반대로, 반노름의 집합이 주어지면, 집합

:

\left\{x : p_{\alpha_1}(x) < \varepsilon_1, \ldots, p_{\alpha_n}(x) < \varepsilon_n\right\}

는 볼록 흡수 평형 집합의 기저를 형성한다.

3. 성질

국소 볼록 공간은 다양한 위상적 성질을 갖는다.

'''위상적 폐포''': 국소 볼록 공간 $X$ 의 부분 집합 $S$ 와 $x \in X$ 에 대해, 모든 $r > 0$ 과 유한 개의 연속 세미노름 $p_1, \ldots, p_n$ 에 대해 $\sum_{i=1}^n p_i(x - s) < r$ 을 만족하는 $s \in S$ 가 존재하면 $x$ 는 $S$ 의 폐포( $\operatorname{cl} S$ )에 속한다.^[1] $X$ 에서 $\{0\}$ 의 폐포는 $\bigcap_{p \in \mathcal{P}} p^{-1}(0)$ 과 같다.^[1]

모든 하우스도르프 국소 볼록 공간은 바나흐 공간들의 곱의 벡터 부분 공간과 위상 동형이다.^[1]

국소 볼록 공간은 균등 공간이므로, 균등 연속, 균등 수렴, 코시 수열의 개념을 정의할 수 있다.

국소 볼록 공간에서 모든 코시 넷이 수렴하는 경우 완비 균등 공간이라고 한다.

반노름족이 특정 조건을 만족하면 전순서가 되거나 유향족이 될 수 있으며, 모든 반노름 족은 동일한 위상을 정의하는 동치인 유향족을 갖는다.

공간의 위상이 단일 반노름에 의해 유도되면 '''반노름화 가능'''(seminormable)이라고 한다. 유한한 반노름족을 갖는 국소 볼록 공간은 반노름화 가능하다.

3. 1. 분리 공리

반노름 집합

\{\nu_i\}_{i\in I}

로 정의되는 국소 볼록 공간

V

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[1]

하우스도르프 공간이다.
$\textstyle\bigcap_{i\in I}\nu_i^{-1}(0)=\{0\}$ . 즉, 모든 반노름으로 재었을 때 0인 벡터는 영벡터이다.

세미노름의 집합

\left(p_{\alpha}\right)_{\alpha}

는 모든

\alpha

에 대해

p_{\alpha}(x) = 0

이 성립하면

x

가 반드시

0

일 때 전체, 분리 또는 점을 분리한다고 한다.^[1] 국소 볼록 공간은 분리된 세미노름의 집합을 가질 때 하우스도르프 공간이다.^[1] 많은 저자들이 정의에 하우스도르프 기준을 사용한다.^[1]

반노름족이 '''토탈'''(total) 또는 '''분리'''(separated)라는 것은, 모든

\alpha

에 대해

p_{\alpha}(x) = 0

이 성립할 때 항상

x

가

0

이 되는 것을 말한다.^[2] 국소 볼록 공간이 하우스도르프 공간일 필요충분조건은 반노름의 분리족을 갖는 것이다.^[2]

3. 2. 연속성과 유계성

두 국소 볼록 공간

V

,

W

사이의 선형 변환

T\colon V\to W

가 연속 함수일 필요충분조건은 유계성을 만족하는 것이다. 즉,

W

상의 모든 연속 세미노름

q

에 대해

q \circ T \leq p

를 만족하는

X

상의 연속 세미노름

p

가 존재해야 한다. 이는 노름 공간에서 연속성이 유계성으로 나타내어지는 것의 일반화이다.

구체적으로, 국소 볼록 공간

X

와

Y

가 각각 세미노름족

\left(p_\alpha\right)_{\alpha}

와

\left(q_\beta\right)_{\beta}

를 갖는다고 할 때, 선형 사상

T : X \to Y

는 모든

\beta

에 대해, 모든

v \in X

에 대해 다음을 만족하는

\alpha_1, \ldots, \alpha_n

및

M > 0

이 존재할 경우 연속이다.

q_\beta(Tv) \leq M \left(p_{\alpha_1}(v) +\dotsb+p_{\alpha_n}(v)\right).

다시 말해,

T

의 치역의 각 세미노름은 정의역의 세미노름의 어떤 유한 합으로 위로 제한된다. 만약 족

\left(p_\alpha\right)_{\alpha}

가 유향족(directed family)이면, 공식은 더 간단해진다.

q_\beta(Tv) \leq Mp_\alpha(v).

3. 3. 한-바나흐 확장 성질

X

를 위상 벡터 공간(TVS)이라 하자.

X

의 벡터 부분 공간

M

에서

M

상의 모든 연속 선형 범함수가

X

상의 연속 선형 범함수로 확장될 수 있다면,

M

이 '''확장 성질'''을 갖는다고 말한다.

X

의 모든 벡터 부분 공간이 확장 성질을 갖는다면,

X

가 '''한-바나흐 확장 성질'''('''HBEP''')을 갖는다고 말한다.

한-바나흐 정리는 모든 하우스도르프 국소 볼록 공간이 HBEP를 갖는다는 것을 보장한다.

3. 4. 볼록 부분 집합의 성질

두 볼록 집합의 민코프스키 합은 볼록하며, 볼록 집합의 스칼라 배수도 볼록하다.

$Y$ 가 실수 또는 복소수를 대상으로 하는 TVS (국소 볼록 또는 하우스도르프일 필요는 없음)라고 가정할 때, $Y$ 의 열린 볼록 부분 집합은 어떤 $z \in Y$ 와 $Y$ 위의 양의 연속 준선형 범함수 $p$ 에 대해 $z + \{y \in Y : p(y) < 1\} = \{y \in Y : p(y - z) < 1\}$ 의 형태이다.
TVS의 볼록 부분 집합의 내부와 폐포는 다시 볼록하다.
$C$ 가 비어 있지 않은 내부를 갖는 볼록 집합인 경우, $C$ 의 폐포는 $C$ 의 내부의 폐포와 같으며, 또한 $C$ 의 내부는 $C$ 의 폐포의 내부와 같다. 따라서 볼록 집합 $C$ 의 내부가 비어 있지 않은 경우, $C$ 는 정규 닫힌 집합 (각각 정규 열린 집합)인 경우와 닫힌 집합 (각각 열린 집합)인 경우는 같다.
$C$ 가 볼록하고 $0 < t \leq 1$ 이면, $t \operatorname{Int} C + (1 - t) \operatorname{cl} C ~\subseteq~ \operatorname{Int} C.$ 이다. 명시적으로, 이는 $C$ 가 TVS $X$ (하우스도르프 또는 국소 볼록일 필요는 없음)의 볼록 부분 집합이고, $y$ 가 $C$ 의 폐포에 속하고, $x$ 가 $C$ 의 내부에 속하면, $x$ 와 $y$ 를 잇는 열린 선분은 $C$ 의 내부에 속한다. 즉, $\{t x + (1 - t) y : 0 < t < 1\} \subseteq \operatorname{int}_X C.$ 이다.^[9]
$M$ 이 (하우스도르프일 필요는 없는) 국소 볼록 공간 $X$ 의 닫힌 벡터 부분 공간이고, $V$ 가 $M$ 의 원점의 볼록 근방이며, $z \in X$ 가 $V$ 에 있지 않은 벡터이면, $V = U \cap M$ 이고 $z \not\in U$ 인 $X$ 의 원점의 볼록 근방 $U$ 가 존재한다.
국소 볼록 하우스도르프 공간 $X$ 의 볼록 부분 집합의 폐포는 $X$ 와 연속 쌍대 공간 간의 쌍대성과 호환되는 $X$ 에 대한 모든 국소 볼록 하우스도르프 TVS 위상에 대해 동일하다.
국소 볼록 공간에서, 유계 집합의 볼록 껍질과 디스크 껍질은 전체 유계이다.
완비 국소 볼록 공간에서, 콤팩트 집합의 볼록 껍질과 디스크 껍질은 모두 콤팩트하다.
더 일반적으로, $K$ 가 국소 볼록 공간의 콤팩트 부분 집합이면, 볼록 껍질 $\operatorname{co} K$ (각각, 디스크 껍질 $\operatorname{cobal} K$ )은 완비인 경우에만 콤팩트하다.
국소 볼록 공간에서, 유계 집합의 볼록 껍질은 유계이다. 이는 일반적으로 TVS에는 적용되지 않는다.
프레셰 공간에서, 콤팩트 집합의 닫힌 볼록 껍질은 콤팩트하다.
국소 볼록 공간에서, 전체 유계 집합의 임의의 선형 결합은 전체 유계이다.

3. 5. 볼록 폐포의 성질

Hilbert space|힐베르트 공간^영어의 콤팩트 부분 집합의 볼록 폐포는 닫혀 있을 필요가 없으며, 따라서 컴팩트할 필요가 없다.^[9] 예를 들어,

H

를 표준 노름

\|\cdot\|_2

가 있는 제곱-가산 수열의

\ell^2(\N)

인 가분 힐베르트 공간이라고 하고,

e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)

를 표준 정규 직교 기저(즉,

n^{\text{th}}

-좌표에서

1

)라고 하자. 닫힌 집합

S = \{0\} \cup \left\{\tfrac{1}{1} e_n, \tfrac{1}{2} e_2, \tfrac{1}{3} e_3, \ldots\right\}

는 컴팩트하지만, 그 볼록 폐포

\operatorname{co} S

는 닫힌 집합이 아니다. 왜냐하면

h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^n} \tfrac{1}{n} e_n

이

H

에서

\operatorname{co} S

의 폐포에 속하지만

h \not\in \operatorname{co} S

이기 때문이다(모든 수열

z \in \operatorname{co} S

는

S

의 원소의 유한한 볼록 결합이므로 유한한 좌표를 제외한 모든 좌표에서 반드시

0

이어야 하는데, 이는

h

에 적용되지 않기 때문). 그러나 모든 완비 하우스도르프 국소 볼록 공간에서 이 컴팩트 부분 집합의 볼록 폐포

K := \overline{\operatorname{co}} S

는 컴팩트하다. 벡터 부분 공간

X := \operatorname{span} S

는 힐베르트 공간

H

가 유도하는 부분 구조를 부여하면 사전 힐베르트 공간이지만,

X

는 완비되지 않으며

h \not\in C := K \cap X

이다(

h \not\in X

이기 때문).

X

에서

S

의 닫힌 볼록 폐포("닫힌"은

H

가 아닌

X

에 대한 것을 의미)는

K \cap X

와 같으며, 이는 컴팩트하지 않다(완비된 부분 집합이 아니기 때문). 이는 완비되지 않은 하우스도르프 국소 볼록 공간에서 컴팩트 부분 집합의 닫힌 볼록 폐포가 컴팩트하지 않을 수도 있음을 보여준다(비록 준컴팩트/전체 유계가 될 것이다).

4. 예시

프레셰 공간은 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간이다. 바나흐 공간과 힐베르트 공간은 프레셰 공간의 특수한 경우이므로 역시 국소 볼록 공간이다.

임의의 벡터 공간 $V$ 및 임의의 실수 선형 변환들의 집합 $F=\{f_\alpha\colon V\to\mathbb R\}$ 에 대한 시작 위상은 국소 볼록 공간이다. 이 경우 반노름들은 $|f_\alpha|$ 가 된다.

국소 볼록 공간의 예시는 다음과 같다.

예시	설명
노름 공간	하우스도르프 국소 볼록 공간이며, 국소 볼록 공간 이론의 상당 부분은 노름 공간 이론의 일부를 일반화한 것이다.
바나흐 공간	완비 하우스도르프 국소 볼록 공간이며, 특히 $p \geq 1$ 인 $L^p$ 공간은 국소 볼록 공간이다.
프레셰 공간	분리된 가산 세미노름 집합을 가진 완비 국소 볼록 공간이다.
실수열의 공간 $\R^{\omega}$	p_i \left(\left\{x_n\right\}_n\right) = \left>x_i\right\|, \qquad i \in \N을 갖는 프레셰 공간. 노름화 불가능하다.
임의의 벡터 공간 $X$ 와 선형 범함수의 집합 $F$	$X$ 에 $F$ 의 모든 선형 범함수를 연속으로 만드는 가장 약한 위상을 부여. $F$ 에 의해 결정되는 약한 위상 또는 초기 위상이라고 한다. 반노름족은 $F$ 의 모든 $f$ 에 대해 $p_f(x) = \|f(x)\|$ 로 주어진다.
슈바르츠 공간	급감하는 함수의 공간. 쌍대 공간은 완전 분포의 공간이다.
함수 공간 $D(U)$	$U \subseteq \R^n$ 에서 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수의 공간. LF 공간으로, 국소 볼록이고 완비하지만, 거리화 가능하지 않으므로 프레셰 공간이 아니다. $D\left(\R^n\right)$ 의 쌍대 공간은 $\R^n$ 의 분포 공간이다.

위상 벡터 공간의 대부분은 국소 볼록이다. 국소 볼록성을 갖지 않는 공간의 예는 다음과 같다.

$0에 대한 공간 L^p([0, 1])]$
단위 구간 $[0, 1]$ 상의 가측 함수의 공간 (거의 모든 곳에서 같은 함수는 동일시한다)
$0 < p < 1$ 에 대한 수열 공간 $\ell^p$

4. 1. 국소 볼록 공간의 예

모든 노름 공간은 하우스도르프 국소 볼록 공간이며, 국소 볼록 공간 이론의 상당 부분은 노름 공간 이론의 일부를 일반화한 것이다. 모든 바나흐 공간은 완비 하우스도르프 국소 볼록 공간이며, 특히 $p \geq 1$ 인 $L^p$ 공간은 국소 볼록 공간이다.
모든 프레셰 공간은 국소 볼록 공간이다. 프레셰 공간은 분리된 가산 세미노름 집합을 가진 완비 국소 볼록 공간으로 정의할 수 있다.
실수열의 공간 $\R^{\omega}$ 는 다음과 같이 주어진 세미노름 집합을 갖는 국소 볼록 공간이다.

:

p_i \left(\left\{x_n\right\}_n\right) = \left|x_i\right|, \qquad i \in \N

가산 세미노름 집합은 완비이고 분리 가능하므로, 이 공간은 노름화할 수 없는 프레셰 공간이다. 이는 또한 유한 수열을 무한히 많은

0

으로 채워 자연스러운 방식으로

\R^{\omega}

에 임베딩된 공간

\R^n

의 극한 위상이다.

임의의 벡터 공간 $X$ 와 그 위에 정의된 선형 범함수 집합 $F$ 가 주어지면, $X$ 에 $F$ 의 모든 선형 범함수를 연속으로 만드는 가장 약한 위상을 부여하여 국소 볼록 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 이를 $F$ 에 의해 결정되는 약한 위상 또는 초기 위상이라고 한다. 집합 $F$ 는 $X$ 의 대수적 쌍대 공간 또는 다른 집합일 수 있다. 이 경우 세미노름 집합은 $F$ 의 모든 $f$ 에 대해 $p_f(x) = |f(x)|$ 로 주어진다.
슈바르츠 공간 또는 급감하는 함수의 공간은 프레셰 공간이며, 그 쌍대 공간은 완전 분포의 공간이다.
$U \subseteq \R^n$ 에서 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수의 공간 $D(U)$ 는 LF 공간으로, 국소 볼록이고 완비하지만, 거리화 가능하지 않으므로 프레셰 공간이 아니다. $D\left(\R^n\right)$ 의 쌍대 공간은 $\R^n$ 의 분포 공간이다.

4. 2. 국소 볼록 공간이 아닌 위상 벡터 공간의 예

0일 때의 L^p 공간, L_0 공간, \ell^p 공간은 국소 볼록 공간이 아니다.

구간 $[0,1]$ 위의 르베그 공간 $L^p[0,1]$ 은 $0에 대하여 국소 볼록 공간이 아니다. 원점의 유일한 볼록 근방 은 공간 전체이다.$
$0 < p < 1$ 인 $L^p([0, 1])$ 공간은 F-노름

::

\|f\|^p_p = \int_0^1 |f(x)|^p \, dx.

:로 정의된다. 이는 국소 볼록 공간이 아닌데, 0의 유일한 볼록 근방이 전체 공간이기 때문이다.^[1] 더 일반적으로, 무원자 유한 측도

\mu

와

0 < p < 1

에 대해

L^p(\mu)

공간은 국소 볼록 공간이 아니다.^[2]

가측 함수의 공간은 단위 구간 $[0, 1]$ 에서 (두 함수가 거의 어디서나 같으면 동일하게 취급) 병진 불변 거리

::

d(f, g) = \int_0^1 \frac

{1+|f(x) - g(x)|} \, dx.

:로 정의되는 벡터 공간 위상을 가진다. (이 거리는 가측 함수의 측도 수렴을 유도한다. 확률 변수에 대해, 측도 수렴은 확률 수렴이다.) 이 공간은 종종

L_0

로 표시된다.^[3]

수열 공간 $\ell^p(\N)$ , $0 < p < 1,$ 는 국소 볼록 공간이 아니다.^[4]

L^p

,

L_0

공간은 실수로의 모든 연속 선형 사상이

0

이라는 속성을 가지고 있다. 특히, 이들의 쌍대 공간은 자명하며, 즉, 영 범함수만 포함한다.^[5]

5. 연속 사상

국소 볼록 공간은 벡터 공간이면서 위상 공간이기도 하므로, 두 국소 볼록 공간 사이에서 고려해야 할 자연스러운 함수는 연속 선형 사상이다. 세미노름을 사용하면, 바나흐 공간에서 발견되는 친숙한 유계 작용소의 유계성 조건과 매우 유사한 선형 사상의 연속성에 대한 필요충분 조건을 제시할 수 있다.

국소 볼록 공간 $X$ 와 $Y$ 가 각각 세미노름족 $\left(p_\alpha\right)_{\alpha}$ 와 $\left(q_\beta\right)_{\beta}$ 를 갖는다고 할 때, 선형 사상 $T : X \to Y$ 가 연속일 필요충분조건은 모든 $\beta$ 에 대해, 모든 $v \in X$ 에 대해 다음을 만족하는 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 및 $M > 0$ 이 존재한다는 것이다.

: $q_\beta(Tv) \leq M \left(p_{\alpha_1}(v) +\dotsb+p_{\alpha_n}(v)\right).$

즉, $T$ 의 치역의 각 세미노름은 유계 함수가 정의역의 세미노름의 어떤 유한 합으로 위로 제한된다. 만약 족 $\left(p_\alpha\right)_{\alpha}$ 가 유향족(directed family)이고, 위에서 설명한 것처럼 항상 유향족으로 선택할 수 있다면, 공식은 훨씬 더 간단하고 친숙해진다.

: $q_\beta(Tv) \leq Mp_\alpha(v).$

모든 국소 볼록 위상 벡터 공간의 클래스는 연속 선형 사상을 사상으로 하는 범주를 형성한다.

5. 1. 선형 범함수

X

가 위상 벡터 공간(TVS, 반드시 국소 볼록일 필요는 없음)이고

f

가

X

위의 선형 범함수라면,

f

가 연속일 필요충분조건은

|f| \leq p

를 만족하는

X

위의 연속 세미노름

p

가 존재한다는 것이다.

만약

X

가 실수 또는 복소수 벡터 공간이고,

f

가

X

위의 선형 범함수이며,

p

가

X

위의 세미노름이라면,

|f| \leq p

일 필요충분조건은

f \leq p

이다.

만약

f

가 실수 벡터 공간

X

위의 0이 아닌 선형 범함수이고,

p

가

X

위의 세미노름이라면,

f \leq p

일 필요충분조건은

f^{-1}(1) \cap \{x \in X : p(x) < 1\} = \varnothing

이다.^[1]

5. 2. 다중선형 사상

정수

n \geq 1

이 주어졌을 때,

X_1, \ldots, X_n

은 TVS (반드시 국소 볼록 공간일 필요는 없음)이고,

Y

는 위상이 연속 세미노름족

\mathcal{Q}

에 의해 결정되는 국소 볼록 TVS이며,

M : \prod_{i=1}^n X_i \to Y

는 각

n

개의 좌표에서 선형인 다중 선형 연산자라고 하면, 다음 조건들은 서로 동치이다.

1.

M

은 연속하다.

2. 모든

q \in \mathcal{Q}

에 대해,

X_1, \ldots, X_n

에 각각 연속 세미노름

p_1, \ldots, p_n

이 존재하여 모든

x = \left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \prod_{i=1}^n X_i

에 대해

q(M(x)) \leq p_1\left(x_1\right) \cdots p_n\left(x_n\right)

이 성립한다.

3. 모든

q \in \mathcal{Q}

에 대해,

q \circ M

이 유계인

\prod_{i=1}^{n} X_{i}

의 원점의 어떤 근방이 존재한다.

6. 역사

존 폰 노이만이 1934년에 "볼록 선형 집합"(convex linear set^영어)이라는 이름으로 국소 볼록 공간의 개념을 처음 도입하였다.^[11]

모리스 프레셰는 1902년 박사 학위 논문에서 벡터 공간 위의 거리화 가능 위상을 소개했다. (여기에서 거리의 개념이 처음 소개됨)

펠릭스 하우스도르프가 1914년에 일반적인 위상 공간의 개념을 정의한 후,^[1] 1934년까지 존 폰 노이만만이 힐베르트 공간에 대한 약한 위상과 힐베르트 공간의 연산자에 대한 강한 연산자 위상을 명시적으로 정의한 것으로 보인다.^[2]^[3] 1935년 폰 노이만은 국소 볼록 공간의 일반적인 정의를 도입했다.(그는 이것을 "볼록 공간"이라고 불렀다).^[4]^[5]

일반적인 국소 볼록 공간의 개발과 보급을 기다려야 했던 결과의 주목할 만한 예는 바나흐-알라오글루 정리인데, 이 정리는 슈테판 바나흐가 1932년에 분리 가능한 노름 공간의 경우에 초등적인 대각선 논법으로 처음으로 증명했다.^[6]

참조

_[1] 서적 Grundzüge der Mengenlehre 1914
_[2] 서적 Collected works
_[3] 서적 History of Functional Analysis
_[4] 서적 Collected works
_[5] 서적 History of Functional Analysis
_[6] 서적 Theory of linear operations 1932
_[7] 문서
_[8] 서적 1975
_[9] 문서
_[10] 서적 바나하공간론 http://www.acanet.co[...] 아카넷 2000
_[11] 저널 On complete topological spaces 1935-01

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